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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 K@%gMkw "  
gzIBBM2&  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1w;1B4f0>  
PTAhSe4D3c  
　　1、三角函数本质： zHW{?V  
'I'v<'W  
　　三角函数的本质来源于定义  O[~rFZ  
E3Yd)mLcP  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 v~=<o  
TZ Ye^"Q6  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 'brDCTu0J  
x3^b:Bj  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： reUH 84H  
P M)U$4h  
　　推导： W5>q2gGz  
_rlL=  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 } O'I4  
EM!Ey\?Ze  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Nr\wep{  
wWc@Cnm  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Td,U7E*$I  
$_Fp[?,(  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 1vkjj}\  
9UsA /|D  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） :}m$o  
4rq#e':"P  
　　[1] .=M l6 )  
wE~" 7R_  
　　两角和公式 |~DN|Gr}R0  
8SE3zfb<g  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB [eY^ZTE  
=Jg4i` rY  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  2az834:%  
kt)> bAtD  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ^&QF]\q/+  
': lN!?  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 4Gp9J:"}  
>Da<yPV^  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) EY,`r Cuk3  
P2B`  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 6}+>mh=f  
@@!Lt3,N  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ^LaeI{sKW  
UO82m@LA  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ,! .%jd%r  
T5,l'j,  
倍角公式 lrB [1<  
pB][exYk  
　　Sin2A=2SinA•CosA @3s'!z<  
d7}TFa{(  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ]lq(q 5eft  
{3fM,@C{s  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） +9D1'a@1i  
=h3Lm*J;b;  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） hW?  
qY!^W6  
三倍角公式 *]K"9VaqO  
)}fjC?#e  
　　 O5&<8qN  
8{PrwY'  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) AS Y;.7Ca  
N@VXtw@s  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) '\T ~tQ`3N  
7g* ~L  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) TP_!Q  
o'`! r  
三倍角公式推导 thv~l&p#C  
G}Go}+}C2  
　　sin3a _g["|! ;  
]Q`(B6QU_  
　　=sin(2a+a) 6L_*d(QB  
XD<mRj  
　　=sin2acosa+cos2asina z x&[/?b%  
|5ZPl%t-  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina jqA5%  
5GU4.`  
　　=3sina-4sin³a EgoJ HH  
:RWwxt  
　　cos3a r j@Sc:  
@Y~`,(%7  
　　=cos(2a+a) a2OC9z:Au  
T2(z~  
　　=cos2acosa-sin2asina 6 ``Xp_8W@  
m{z?P-L+  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 5iP(!10>w  
~ -VmxVn  
　　=4cos³a-3cosa C [t\-yz  
hp&J.~^X  
　　sin3a=3sina-4sin³a +U *UE"x  
z~;3*(!  
　　=4sina(3/4-sin²a) H?FmPUf  
T^\P"sL  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] .YD(#SND  
O=.iR#JO  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) @H(>o@<3X  
jv"lhEB]  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Qu pV/A(`  
t2"Nl/{&w<  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] )Z;^f<] z;  
DF#IJ=8M  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 6nMmT(6{  
4.dsn*&UP  
　　cos3a=4cos³a-3cosa )tD6y{\St  
~#VG~'  
　　=4cosa(cos²a-3/4) _dm/FUV;b  
 }S8,k  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 4 <7Mm:  
,Y2dnLs,+  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) xo Tq9QPD  
\rt_[}  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 8(w:]f>b  
El3p\:sV  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 3l||!cU::  
CE&BVU  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) U9q^nC0  
zTf5h&BV#  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }H4<_J Q>  
KtuvaL  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] M}!LvPNg  
= q!X@  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) $jL\}]iS,  
S]UmBO  
　　上述两式相比可得 gRu~jk(33  
M\ X'*  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) l'cF-XeI  
D Q}gm:1Q  
半角公式 =K;4bA Q  
7_^*+-sM  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); xKm^Fk9'7  
U { -p{  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. G=( ]aJk  
ciYfN,>4r<  
和差化积 L{q)gC{$  
=Ynmp=s  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] yYgO!u P  
h[Y?(XG  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] }]e SB}FT  
7?:F#_x  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ^Os!; NB#  
\/Ot`-9G  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] >[%?Nq](  
Y@n}M&nni  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ekD< (QZ  
}.)@ 4  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) JI}Y# 1J  
ln~RX4%0p  
积化和差 #bt!?sMC  
7-3I/!Ie#  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] xc~*d >  
&'-b2V{4Q  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] R<![L  
<;hGC$g  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] [~M(T-4c*  
sa2OCcf  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 8NNSb#c~=  
z,{} .F2D  
诱导公式 ! J> {6W   
yw=/^e  
　　sin(-α) = -sinα QS`!E~,Gu  
m0e*X  
　　cos(-α) = cosα T7 oXCz<  
 >  
　　sin(π/2-α) = cosα m}5)P#j  
Oy4R\t`#CS  
　　cos(π/2-α) = sinα D_UQ *F  
vOYa>F&  
　　sin(π/2+α) = cosα 8lhQ AOL!  
^ !8gK0?  
　　cos(π/2+α) = -sinα 0O G" |  
I2}__M'  
　　sin(π-α) = sinα M-)pP  
m|;*x,\  
　　cos(π-α) = -cosα QZr}j <ln  
xF@O>b  
　　sin(π+α) = -sinα X%S '2-  
b[3@`Yf  
　　cos(π+α) = -cosα 1eJG QOw  
DvvDm>6  
　　tanA= sinA/cosA *\WNYnJ!U  
Xsv9r.?` O  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα rv)dP%Zq  
a#QWVwLO  
　　tan（π/2－α）＝cotα s%.QV" C R  
[:Y 8Xq  
　　tan（π－α）＝－tanα doo3qj  
NHXJFL9Q  
　　tan（π＋α）＝tanα u!0[kr26  
V\psuy l  
万能公式 HNq8E   
; TA+|@w  
　　  bxWN?w  
@cD{ =E`m  
其它公式 *RA77dWrd  
l-yzMp0O  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 PY%W=\(q  
{e E~<r  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 H#Xz[V'Q[@  
;@ F]:$  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 (XM}nDr  
qAJSOt6S)  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 >KeY}7V  
98Id%d4]  
　　对于任意非直角三角形,总有 gY=zCa  
M Oas^]]g  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC B I{%y!  
$<n@~~'x]  
　　证: 1X/gx9&X  
kN $(qE  
　　A+B=π-C mF}UNn@h  
 SKEx#  
　　tan(A+B)=tan(π-C) T+HMBmk  
mV >Aw!  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) _/dX0$  
-_lx7tD  
　　整理可得 (c=|\O  
g/Ul|z  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC #cdjd;@nq]  
4\S:YKf t  
　　得证 c/&&'?  
wy4k32f'  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 3XI$E!  
E{>'z;L)  
其他非重点三角函数 Z0WI'uK  
M=7_wu^!  
　　csc(a) = 1/sin(a) {J/#VQ=7  
#,;*j!#n  
　　sec(a) = 1/cos(a) = sUj  
L>}X:H  
　　 }K/_Bez)  
jEA1}S#  
双曲函数 SlK"&4e\  
r}ObkXT  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 B D$HkjV  
2X ]+l4  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 w)aC_6g)  
%vm@Ky_Xf  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) @k| W]Z  
*5u|iad&  
　　公式一： Q8tPB  
K+0cX6=/h  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： %k)TF ,2%  
E.EgwX(D  
　　sin（2kπ＋α）= sinα W~E Ga1(  
yK3AW|P&p  
　　cos（2kπ＋α）= cosα K}xw6r.,r  
iP)w8Op  
　　tan（kπ＋α）= tanα Qw? #(=*  
i:>i_H333  
　　cot（kπ＋α）= cotα 0.%w@2Tw  
z( S H  
　　公式二： \@Y /  
)y#i!L`:\V  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： {R_&hNH  
Y!aEzt Y  
　　sin（π＋α）= -sinα M5!=5Oz+-  
$FYSF].t  
　　cos（π＋α）= -cosα >D d[rl  
f9DZp2  
　　tan（π＋α）= tanα UiXI ^z3  
d?x[AaSBT  
　　cot（π＋α）= cotα A p/YoA  
2 so~  
　　公式三： O}MYXV2\  
H)]H  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： H EY3;\*  
w#n*OSg  
　　sin（-α）= -sinα D`.zV_*d;  
\Yj1N\  
　　cos（-α）= cosα iFHSb}=2  
^4DE5AV  
　　tan（-α）= -tanα Us25XM.N{  
"\r@SL  
　　cot（-α）= -cotα XJH/kZbL  
q=yEH4  
　　公式四： _4B88G;[=  
(zl ]rfh  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： s!%pBu  
o>\5X G  
　　sin（π-α）= sinα [egu#9  
ev>Ha"Zm  
　　cos（π-α）= -cosα k>ifD'"Z  
1#jCri  
　　tan（π-α）= -tanα SKV}N  
]_>9M#D  
　　cot（π-α）= -cotα {`bZF{1[  
Eo39.m {  
　　公式五： 8r>pW|?  
f]Jn   
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ,'/~*'\/x  
 Z[t_k~6  
　　sin（2π-α）= -sinα hV(^:$Y*  
+PUMV0'*  
　　cos（2π-α）= cosα v.m759lS  
U7x~XW 7  
　　tan（2π-α）= -tanα Q1 mw  
14FRb#2Xr%  
　　cot（2π-α）= -cotα 9)wE >t?  
C?<7eh  
　　公式六： Oiow]RJ  
* ntp  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： %J>[PX]  
rZ<31  
　　sin（π/2+α）= cosα &DQlRyb  
(A/z EXZ  
　　cos（π/2+α）= -sinα ;w%(V3H  
uP<^M|?MR  
　　tan（π/2+α）= -cotα #ehN;G */  
=NS9p#\"-  
　　cot（π/2+α）= -tanα YqqIBgD  
f-9:pph 1  
　　sin（π/2-α）= cosα .y&MC   
+xM/]s&i  
　　cos（π/2-α）= sinα %8LK"8Cg  
o@Qs/&,  
　　tan（π/2-α）= cotα jO< Dy  
u=<UI}[S=  
　　cot（π/2-α）= tanα $f|7 GK  
yAii e Jh6  
　　sin（3π/2+α）= -cosα PR >7%R  
*9CQP;{  
　　cos（3π/2+α）= sinα 6uf-HBU#  
&7o@(I#  
　　tan（3π/2+α）= -cotα JjN)I'bB  
mx)h<at  
　　cot（3π/2+α）= -tanα WW u7. =  
n%ZP.R  
　　sin（3π/2-α）= -cosα qn;? E  
M$?P\ }']}  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 2]s<'b  
eLEs!P7  
　　tan（3π/2-α）= cotα <.dl%P8  
,Ie~j gnK  
　　cot（3π/2-α）= tanα ?i)3q%MPY  
{(5lu/"K  
　　(以上k∈Z) MlsCZg<  
.jGMtPBW  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 [*e"sj  
k-H2IEG!  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = (YFu=T"+tW  
xm,3(R~  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } a)%%d  
bPq*X>HN  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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