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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 .vgJ>Q$  
-f.RhG7B  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. V'w!&BHj  
`EBw}] 1!  
　　1、三角函数本质： ORsow6,9"  
@LI AW@  
　　三角函数的本质来源于定义 gbQMvC>F|  
6qF 2  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 uYi&<F/Dcb  
'?KaB(d<1b  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 J'H j0qH9  
^MnG8}Bx  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： r^0&kp  
d;M/Z+;  
　　推导： !-|&Klc&  
>z4O\V T  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 *>n)2  
8'c z[K  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) $*K|7RO]  
!\2r3nj&  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Y^kP+h3 m3  
35;fBzv`  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 b < v..  
7Bd&0  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ywx4ugI  
*2e^Kxhe  
　　[1] t&r IL^]  
?C8a7e_8  
　　两角和公式 %;+o\-H82X  
q/]@z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB gx*H*bQ+8  
]VCBtF]n  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  7])Z:~]s  
D Ev;X5t  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Gvyry&$>4  
$ |EC2 |I  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB _n!lSL:  
OE sK6]=8  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) _Wz&x  
!'&Pnh]l]  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) (UOy`>ovB  
qvS$J&TQ>  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  b~-V1#  
@mz .2S  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) u.x5fUp  
xqO){oBA  
倍角公式 W}d-c[}>K  
{%  
　　Sin2A=2SinA•CosA K{Hf\gE1yk  
(E{ 7':5  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 r#PZ'8qYG  
E/?xYKXW  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） nl6muBW  
6n?.}:$<s  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） rc:& 7  
nl,nTpIy  
三倍角公式 E-lm zSC  
#"J_h34S  
　　 <-dzCl.5K^  
G`pU9Px  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) kx7\'+N\Ao  
Fl9&SmNFm$  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) EcvUJ=t  
rViEHJF  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) L(O&T>P[  
8Y hVcN  
三倍角公式推导 itP`q?(  
hEl:>=Ut  
　　sin3a #;/]Vfy9/  
#fINXf \  
　　=sin(2a+a) MG4qL`<AA  
benMwJW  
　　=sin2acosa+cos2asina V_y" )78  
DTzk>M  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina i5&/M  
CgA#'s2  
　　=3sina-4sin³a g!E!m^ZK  
K(f]kF;5$  
　　cos3a }C w $oT  
{P+Y sR !  
　　=cos(2a+a) c~wD=nh  
kx>c>n-_7v  
　　=cos2acosa-sin2asina c 3!ojqi  
!*a Ne9rmJ  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa hG szP  
EIc{xP1  
　　=4cos³a-3cosa V;NB<0:  
t%hkjl  
　　sin3a=3sina-4sin³a ">{*U)B[x  
'{0N\#,gd  
　　=4sina(3/4-sin²a) 4 hE0% fp  
2O>o<`  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 6l |L!C_T=  
 <:nj(  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) L5~& -v m  
3[Hn>4B%  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) A:6[! =^  
 '812N*i  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] \Rn!so]s  
N]r{0rXlN  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) (K'r g(`  
|M 0OzX$  
　　cos3a=4cos³a-3cosa *z~M'H  
}Zx$BQ<+.  
　　=4cosa(cos²a-3/4) K=53p  
r_3;VY#!t  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] T}cH88tl  
?^KdZ` 3  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) e4W@6.   
_fk x =qZ  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) BU?\flJh  
/nO[3&/dm  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} E4]CS$!/  
7~W.(!i  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 2c3gb9c  
98 d0<Z  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] g==Nie)`  
VpEiCy_  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] A]cMDgYGO  
1C 1fkBW  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 3'u!xOB  
tnt-v[_H  
　　上述两式相比可得 g:.4J;`F  
f =Py<b  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) *GyS8.o&  
C* MkHA#\  
半角公式 r^ +"l_Y  
5$$](G4s!  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); > S  m  
jhn VCiXG*  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. &"-sA)t0x  
YH%u(@ D  
和差化积 nLQ]!>5H9  
5/> Iq|  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] {?) & hK  
,0S%G M  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 2]{TAh6  
?;f/s d/)  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] e<K|cw<3  
b6 t #wi  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] rz37+ce  
h3L+p&\k  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) A"#5<l2  
P^ \6579,  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) +#[7s 9"+6  
J?HrD7veY  
积化和差 ^]O-!3L  
26FtR  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] U3tE`75  
~J[$ T  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] GT: E=*-c<  
E*y +&Q|  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] @P r/&  
&88eu }  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] h4J|}Sc_  
o$6+}=2  
诱导公式 %>]riA  
*}}(v  
　　sin(-α) = -sinα  [.+>2`)T  
<U.y0LPu  
　　cos(-α) = cosα dJ}D6<U  
QGLGH= `"Z  
　　sin(π/2-α) = cosα zDh# \  
5 ]#ZQ*X.  
　　cos(π/2-α) = sinα L,GBub  
9{)9x`2)X  
　　sin(π/2+α) = cosα $#<a}(  
wa `!%  
　　cos(π/2+α) = -sinα ~I80\Fw%=  
yW=HU  
　　sin(π-α) = sinα k(!*{8):  
?;$+c  
　　cos(π-α) = -cosα '6VpJxZA  
T *D"9RG  
　　sin(π+α) = -sinα /#?{#Rmg  
<H }N\$  
　　cos(π+α) = -cosα W%9Fi+  
Ecq9E#7a  
　　tanA= sinA/cosA |$Wx]`mRc  
R[1bf}  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα &Kz D  
U0[NPUsCu8  
　　tan（π/2－α）＝cotα Sh msQG  
>?G-?1s  
　　tan（π－α）＝－tanα }kuUax  
G`Y@Dl  
　　tan（π＋α）＝tanα +"JJXJ|I  
;HYi}e+v]-  
万能公式 riRy)w&y  
n,#%vKKSf  
　　 %@O V]G  
a7-d57\m  
其它公式 W-*KF#}  
3}`q-&n-  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Uvti^sa  
o-UA<Sx  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 RKfXF?y  
"'mt#bCl  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 VgL%/m">N  
J&M^O1g  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 )f9e[  
V/m''TL9H  
　　对于任意非直角三角形,总有 ~i!dl "  
T89ZvLvR  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 6-D]K haY  
L&L-aW"  
　　证: '^ab.?  
T%wX e 9  
　　A+B=π-C Xc wA Zjl  
5KWF  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Mg l 0YB  
&:ov9"K O  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) :}4{uQ  
9eJ4=MfB  
　　整理可得 w#Hi1C(v  
TfJ#oXCXq  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC gH63^RS  
gsi~Ykjac  
　　得证 9/ :uF Sg  
{*M>$@c  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 YW_{ Lf$  
Gq`&# g  
其他非重点三角函数 Jw[MzEYg`U  
-%/-01[  
　　csc(a) = 1/sin(a) ,uzd*9ah  
 K!BB  
　　sec(a) = 1/cos(a) R ?jHAkKPX  
 9G7 aS  
　　 a)+9*Zo  
A7eg1Dp_  
双曲函数 aR!YJe  
ZUFF2jc  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 pAAPh[Gr   
}Dh@]] U=  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 PZ/pc|  
)ntsry50  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) _ D:3 |  
K]Lr|18f  
　　公式一： J3)P@Hi5  
h"{1|:+z  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Y#&WzNbW0,  
%'8#Auw  
　　sin（2kπ＋α）= sinα n28Fny_  
-Zg:Y  
　　cos（2kπ＋α）= cosα [TO3f V  
hVH; 8AsO  
　　tan（kπ＋α）= tanα InQ  NeMG  
Xt {Ul gcm  
　　cot（kπ＋α）= cotα RuokN?h  
.L</&=K  
　　公式二： Y_3m%8TVr  
4m%PcK  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Rl rYeH5c  
#=u=m2  
　　sin（π＋α）= -sinα CN>oMw'x\  
buyx5 >8&  
　　cos（π＋α）= -cosα )~PrQf_s  
j Qol\  
　　tan（π＋α）= tanα 3l|E`"i  
VD%Gp^1  
　　cot（π＋α）= cotα O!~vz[`X  
B*j&S(^A!  
　　公式三： DN?Rc!{E  
IX~m/#  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： RP MT!WV  
NWVhJ :!R  
　　sin（-α）= -sinα ?, nh3hT9  
vMH' 6xf  
　　cos（-α）= cosα ;}3Hz0  
d ;oBl U'a  
　　tan（-α）= -tanα SDKOD\`  
5%K"HZ BW  
　　cot（-α）= -cotα P"W-_ y`n  
ze7UV  
　　公式四： S\`-{<KB  
IccRGf.8  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： P!v\vT2;4  
e*3i4\.R  
　　sin（π-α）= sinα [*9|gG[  
\[WZj?  
　　cos（π-α）= -cosα 54 kTt<;<,  
>h;]"|   
　　tan（π-α）= -tanα !5B]}$>s~^  
:CT-H&/Zr/  
　　cot（π-α）= -cotα C' al>z  
^kwb80 Z  
　　公式五： 9|mL#N !Z  
W0<+ xH{wJ  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 0QM80W:  
"{A{ea!q^  
　　sin（2π-α）= -sinα E8e9bHc}kH  
I Wg   
　　cos（2π-α）= cosα 3Dlv  
Nct{6+  
　　tan（2π-α）= -tanα {jA< Q;Hs  
l.j4)SO  
　　cot（2π-α）= -cotα bq@/yK5n]  
1Bs,buP  
　　公式六： n1nI)_t  
':8%*S  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： oYi\N|y  
*gi} ,  
　　sin（π/2+α）= cosα gaVJ + z^  
3Wgo_'b7H  
　　cos（π/2+α）= -sinα H(m6*0J  
e cMUyhH@  
　　tan（π/2+α）= -cotα JZ_-AvDF  
X y13#<  
　　cot（π/2+α）= -tanα CN\SuLb  
WkteL|.DY&  
　　sin（π/2-α）= cosα &["BkJ0  
VaoppR :  
　　cos（π/2-α）= sinα \:$}G4r  
T7lg: `:  
　　tan（π/2-α）= cotα [1' A"X<  
+gu':#RH  
　　cot（π/2-α）= tanα &Pz8w/V[  
Gv](r|  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ,( BxL  
pf|U0nA\  
　　cos（3π/2+α）= sinα yA[8;iUy  
Y9,b ZH  
　　tan（3π/2+α）= -cotα [&cE"{  
IsT1MZV5O  
　　cot（3π/2+α）= -tanα \#{ALJ|  
`)U68s?Rqn  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 5;/y?7Jd|  
3r-J@G>;  
　　cos（3π/2-α）= -sinα pQnus  
8lR1j#} H  
　　tan（3π/2-α）= cotα c1C4. p2D  
^%+"`/  
　　cot（3π/2-α）= tanα C>,(:G=p  
?XC;&,KQ\  
　　(以上k∈Z) #0xA']E  
MP7a,ftf  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 oQK2y#{  
3Onl>w{{x  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = M%]}R?"W  
6o[a6L<a  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } qcegrhK+#>  
;W6Mta\l  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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